Родился 9 февраля 1925 года в Махачкале. Александр не успел окончить 10 классов: в 1942 году его призвали в армию. Пулемётно-миномётное училище, где Беспамятнов проходил учебку, перевели под Ереван.

В августе 1943 года рядовой Беспамятнов попал на передовую в составе 122-го миномётного полка, который поддерживал огнём войска, развернувшие массированное наступление под Ростовом-на-Дону. В конце августа 1943 года в бою за железнодорожную станцию Успенская (она расположена на границе с Украиной) Беспамятнов был ранен и направлен на лечение в госпиталь в город Миусс, а затем – в Махачкалу.

Подразделение, в котором после госпиталя служил Беспамятнов, было отправлено в Закавказский военный округ: в это время на южных рубежах СССР было неспокойно.

В 1945 году он встретил Победу в Грузии.

Алексей Иванович Беспамятнов награждён орденом Отечественной войны II степени, медалью «За Победу над Германией», юбилейными медалями.